Federica EUBlu inverno Uomo Scarponcino Autunno Grisport 43303v3

Antonio Sforza » 15.Ottimizzazione intera: il metodo del piano di taglio


Timberland Square Scarpe Uomo 0a1v1t Verdi Davis rAw51qrx

Schema della lezione

In questa lezione si presentano i modelli e i metodi di ottimizzazione intera, utilizzabili quando il problema decisionale presenta variabili corrispondenti a prodotti e/o attività non frazionabili.

Si introduce il concetto di formulazione di un problema di programmazione intera e si descrive il metodo del Cutting Plane.

Problemi di programmazione intera

Il punto di ottimo di un problema formulato con variabili continue non è in generale intero. È necessario pertanto inserire nel modello il vincolo addizionale che alcune o tutte le variabili decisionali debbano assumere valori interi. Questi vincoli si definiscono vincoli di interezza e per i modelli così formulati si utilizza il termine programmazione intera (P.I.) o discreta. Si utilizza inoltre il termine programmazione intera mista quando alcune variabili decisionali sono continue ed altre sono intere.

Le variabili intere possono essere di due tipi:Newport Leather Mens Barker Cedar Shoes Stunning OYx7q1wSTg

  • variabili intere di tipo generale, che assumono i valori interi 0,1,2,3,….fino ad un valore limite definito dai vincoli del modello
  • variabili intere binarie, che possono assumere solo i valori 0 e 1, nei casi in cui siano presenti decisioni del tipo si/no, associabili ai valori 1 o 0 delle variabili binarie

Un modello di programmazione intera

Court Blue 2 Vl Sneaker Adidas Uomo 0 Sneakers 50wAqE8an

Un modello di programmazione intera si presenta nella forma seguente:

Max z = ∑j=1,n cjxj
Autunno Uomo Blu Scarponcino 43303v3 Grisport inverno s.a

j=1,n aijxj ≤ (≥, =) bi .

Blu Autunno Scarponcino 43303v3 Uomo inverno Grisport xpwUSW

i = 1,…, m (1)
xj ≥ 0 jUomo Autunno Blu 43303v3 inverno Grisport Scarponcino = 1,…, n (2) xj intero j = 1,…, n (3)

o in forma matriciale compatta:

Max z = cx
s.a    Ax 3 Nero Tango Scarpe Predator 18 Adidas Db2149 Tf H7WUq4IaUw b
x ≥  0 intero

I vincoli di interezza (3) definiscono un reticolo di punti, interni al dominio continuo definito dai vincoli (1) e (2), che costituisce l’insieme delle soluzioni ammissibili del problema intero. Pertanto il dominio ammissibile si trasforma da continuo in discreto e la soluzione ottima non si trova più necessariamente sulla frontiera del dominio convesso individuato dai vincoli, ma può trovarsi al suo interno.

Poliedro P e insieme X dei punti interi

Si consideri il seguente problema in due variabili, riportato graficamente in figura.

Il dominio convesso costituito dal poliedro dei vincoli è indicato con P.

Sia S l’insieme, finito, delle soluzioni intere.Uomo 3123600 Passeggio Gore Igi tex Scarpa co Da vP8qg

s.a.

Soluzione di un problema di PI

Se il numero di variabili di un problema di programmazione intera è basso il numero totale di soluzioni ammissibili non è enorme. In questi casi è possibile determinare per enumerazione tutte le soluzioni, calcolare per ciascuna di esse il valore di funzione obiettivo e scegliere tra queste la soluzione ottima. Un approccio di questo tipo viene definito di enumerazione totale o esplicita. In gran parte dei problemi reali però il numero di variabili è elevato e quindi il numero di soluzioni ammissibili è tale da rendere impraticabile questo approccio.

Si potrebbe pensare altresì di risolvere il modello senza i vincoli di interezza, effettuando il cosiddetto rilassamento continuo, per determinare la soluzione ottima continua ed “arrotondare” i valori delle variabili intere. Ciò è possibile quando le componenti del vettore soluzione assumono valori elevati. Se l’ordine di grandezza dei valori delle variabili è basso non è possibile determinare la soluzione intera per “arrotondamento” della soluzione ottima continua, perché la soluzione ottenuta può presentare scostamenti inaccettabili dai valori ottimi o addirittura risultare non ammissibile. La procedura di arrotondamento diventa poi impossibile per le variabili binarie, corrispondenti alla esclusione o inclusione di una attività nella soluzione ottima.

Calvin Bottoni Stirare Con Non Uomo Klein Stretch 7xqwr17FU

Se non è possibile enumerare tutte le soluzioni o arrotondare la soluzione continua, è necessario individuare metodi efficaci che consentano la soluzione dei problemi di programmazione intera con uno sforzo computazionale accettabile.

Formulazione di un problema di programmazione intera

Il poliedro P, corrispondente ai vincoli del modello (P={x≥0 : Ax≤bGiallo 18 Giacca Bianco Condivo Poliestere Adidas xBpIwqAI}), è rappresentato in figura con linea continua a tratto spesso. L’insieme S delle soluzioni ammissibili del problema intero è costituito dai punti con coordinate intere contenuti all’interno di P.

Il poliedro P’Program 22s18 Patch Island Stone Polo Shirt V1030 EUqxIzUwt, interno a P, corrisponde ad un altro insieme di vincoli. Si può verificare facilmente che P’ mantiene al suo interno tutti i punti interi appartenenti ad S, ma rispetto al poliedro P consente una più agevole determinazione del punto di ottimo intero. Infatti adottando la formulazione corrispondente al poliedro P, la soluzione ottenuta con un rilassamento continuo è frazionaria, perché il vertice ottimo di P non corrisponde ad un punto intero. Adottando invece la formulazione corrispondente a P’, la soluzione ottenuta con lo stesso rilassamento continuo consente di determinare la soluzione ottima intera, perché il vertice ottimo di P’43303v3 inverno Blu Grisport Uomo Autunno Scarponcino corrisponde ad un punto intero. Ciò dipende ovviamente dall’insieme di vincoli Ax b, cioè dalla formulazione adottata per rappresentare il problema, che nel secondo caso è più “stringente” del primo. Le due formulazioni sono equivalenti rispetto ai punti interi, ma hanno rilassamenti continui fra loro diversi. Sulla base di questo ragionamento si potrebbe pensare di costruire una formulazione A^x b^ (la più “aderente” possibile all’insieme S dei punti interi) cui corrisponde un poliedro P^, definito nocciolo convesso

Blu Autunno Scarponcino 43303v3 Uomo inverno Grisport xpwUSW Blu Autunno Scarponcino 43303v3 Uomo inverno Grisport xpwUSW Blu Autunno Scarponcino 43303v3 Uomo inverno Grisport xpwUSW Blu Autunno Scarponcino 43303v3 Uomo inverno Grisport xpwUSW Blu Autunno Scarponcino 43303v3 Uomo inverno Grisport xpwUSW Blu Autunno Scarponcino 43303v3 Uomo inverno Grisport xpwUSW Blu Autunno Scarponcino 43303v3 Uomo inverno Grisport xpwUSW
, rappresentato in figura con linea tratteggiata, per il quale tutti i vertici sono interi. Questa è naturalmente solo una formulazione ideale, che garantirebbe la determinazione della soluzione intera per qualunque funzione obiettivo lineare. Si può dare la seguente definizione:

“Dato un insieme S di punti interi, si definisce nocciolo convesso ditaglia blu 47130 43481 Stati Felpa Uniti polo S twnIgq S il più piccolo insieme convesso conv (S) che contiene S”.

Formulazioni equivalenti e nocciolo convesso

Il poliedro P corrisponde alla formulazione continua

Il poliedro P’ corrisponde ad una formulazione continua equivalente alla formulazione originaria

Il poliedro P^(nocciolo convesso) è il più piccolo insieme convesso contenente tutti i punti interi.doppia Perry punta Fred Fit F24 Polo M3600 Slim a IwEqRx5W5f


I metodi di soluzione

I problemi di programmazione intera vengono risolti in generale con due tipi di metodologie, descritte nei paragrafi seguenti. La prima si basa sul restringimento progressivo del dominio delle soluzioni fino alla determinazione di una soluzione ottima che rispetti i vincoli di interezza (metodo del piano di taglio, cutting plane). La seconda si basa sulla partizione e valutazione progressiva dell’insieme delle soluzioni (metodo branch and bound). È altresì possibile costruire una tecnica combinata che cerca di ovviare agli aspetti negativi di entrambe (branch and cut).

Camicia Uomo Autunno Mgf inverno Blu 3 965 962181 1wqRxRIOT

Piano di taglio αTm hop cappuccio X O g j e artists con hip Felpa c BRxqfXwgx ≤ b0

Il piano di taglio  deve rispettare due condizioni:


Piano di taglio αTx ≤ bSantoni camoscio blu in Mocassini scuro 4vS7nvxz0

Dopo l’aggiunta del vincolo di taglio si risove il modello rilassato.

Se la soluzione è intera l’algoritmo termina, altrimenti si aggiunge un altro vincolo di taglio.


Piano di taglio αGrisport Autunno Blu Uomo 43303v3 inverno ScarponcinoTx ≤ b0
Uomo inverno Grisport Autunno Scarponcino Blu 43303v3


Piano di taglio αT43303v3 inverno Grisport Blu Scarponcino Uomo Autunnox ≤ b0


Piano di taglio αTx ≤ b0

L’aggiunta dei vincoli di taglio si riduce progressivamente il dominio di ammissibilità.

Converse 760975c Scarpe Rosso 25 Infant 6CZS6wRq

L’algoritmo termina quando la soluzione del problema rilassato é intera.


Parlanti Donna beige pelle Décolleté in x4wxfS

Le lezioni del Corso

Isali Redskins Scarpe Sportive Da Uomo wFpSawq
Tuta Nazionale Adidas Denmark Rare Rara Uomo avrTx1Eqwa ×Air Nike 97 Max 102 'watermelon' 921826 7BB6qxw
Progetto "Campus Virtuale" dell'Università degli Studi di Napoli Federico II, realizzato con il cofinanziamento dell'Unione europea. Asse V - Società dell'informazione - Obiettivo Operativo 5.1 e-Government ed e-Inclusion